Вода витікає з перевернутої конічної ємності зі швидкістю 10 000 см3 / хв. Вода одночасно перекачується в резервуар з постійною швидкістю. Якщо резервуар має висоту 6 м, а діаметр вгорі 4 м, якщо рівень води підвищується зі швидкістю 20 см / хв, коли висота води дорівнює 2 м, як ви знаходите швидкість, з якою вода закачується в бак?

Дозволяє # V # є об'єм води в резервуарі, в # cm ^ 3 #; дозволяє # h # глибина / висота води, см; і нехай # r # - радіус поверхні води (зверху), см. Оскільки танк є перевернутим конусом, так і маса води. Оскільки танк має висоту 6 м і радіус у верхній частині 2 м, подібні трикутники передбачають, що # frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # так що # h = 3r #.

Тоді обсяг перевернутого конуса води # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Тепер диференціюйте обидві сторони щодо часу # t # (у хвилинах), щоб отримати # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (У цьому кроці використовується правило ланцюга).

Якщо #V_ {i} # - це об'єм води, яка була закачана, потім frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (коли висота / глибина води становить 2 метри, радіус води становить # 200} {3} # см).

Тому frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 приблизно 847758 frac {mbox {cm} ^ 3} {min} #.