Вода виливається в циліндричну чашу висотою 10 футів і радіусом 3 футів зі швидкістю 5 "фут" ^ 3 / "min". З якою швидкістю підвищується рівень води?

Відповідь:

# = (5) / (9 пі) фут / хв

Пояснення:

Для даної висоти, # h #, рідини в циліндрі або радіусі # r #, обсяг

#V = pi r ^ 2 h #

Диференціюючи час wrt

#dot V = 2 pi r точка r h + pi r ^ 2 точка h # але #dot r = 0 # тому

#dot V = pi r ^ 2 крапка h #

# dot h = точка V / (pi r ^ 2) #

# = (5) / (pi (3 ^ 2)) #

# = (5) / (9 пі) фут / хв

Воду зливають з конусоподібного резервуара діаметром 10 футів і глибиною 10 футів з постійною швидкістю 3 футів 3 / хв. Як швидко падає рівень води, коли глибина води становить 6 футів?

Відношення радіуса, r, верхньої поверхні води до глибини води, w є постійною залежністю від загальних розмірів конуса r / w = 5/10 rarr r = w / 2 Обсяг конуса вода задається формулою V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w або, в термінах просто w для даної ситуації V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Нам сказали, що (dV) / (dt) = -3 (cu.ft./min.) (dw) / ( dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) При w = 6 глибина води зміна зі швидкістю (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) Виражається в термінах швидкості падіння рівня води, при глибині води

Вода витікає з перевернутої конічної ємності зі швидкістю 10 000 см3 / хв. Вода одночасно перекачується в резервуар з постійною швидкістю. Якщо резервуар має висоту 6 м, а діаметр вгорі 4 м, якщо рівень води підвищується зі швидкістю 20 см / хв, коли висота води дорівнює 2 м, як ви знаходите швидкість, з якою вода закачується в бак?

Нехай V - об'єм води в резервуарі, см ^ 3; h - глибина / висота води, см; і нехай r - радіус поверхні води (зверху), см. Оскільки танк є перевернутим конусом, так і маса води. Оскільки танк має висоту 6 м і радіус у верхній частині 2 м, подібні трикутники означають, що frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, так що h = 3r. Об'єм перевернутого конуса води - це V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Тепер диференціюйте обидві сторони відносно часу t (у хвилинах), щоб отримати frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (Правило ланцюга використовується в цьому крок). Якщо V_ {i} - об'єм води, яка була закачан

Рівень води в півсферичній чаші радіусом 12 дюймів становить 4,6 дюйма. Який кут ви можете нахилити чашу, перш ніж вода почне розливатися?

Ви можете нахилити чашу на 38,1 ° перед розливом води. На зображенні вище, ви можете побачити миску з водою, як попередньо в цій проблемі і гіпотетична нахилена чаша з водою, що досягає краю чаші. Два центри півкуль накладаються, і два діаметри утворюють кут a. Такий же кут знаходиться в прямокутному трикутнику, утвореному: - відрізком від центру півкулі до центру водної поверхні (12-4,6 = 7,4 дюйми) - відрізок від центру півкулі до краю поверхні води (12 дюймів) відрізок від центру водної поверхні до її краю У цьому трикутнику sin (a) = 7.4 / 12, тому a = sin ^ (- 1) (7.4 / 12) ~~ 38.1 °