Як знайти антидерівативну (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Відповідь:

#arctan (e ^ x) + C #

Пояснення:

# "пишемо" e ^ x "dx як" d (e ^ x) ", потім отримуємо" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "з підстановкою y =" e ^ x ", отримуємо" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "що дорівнює" #

#arctan (y) + C #

# "Тепер замінити назад" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Відповідь:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Пояснення:

Ми хочемо знайти # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Тепер нехай # u = e ^ x # і таким чином приймаючи диференціал з обох сторін дає # du = e ^ xdx #. Тепер ми підставимо обидва ці рівняння в інтеграл для отримання

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Це стандартний інтеграл, який оцінюється в # arctanu #. Підставляючи назад # x # ми отримуємо остаточну відповідь:

#arctan e ^ x + "c" #

Відповідь:

eint x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Пояснення:

По-перше, ми дозволяємо # u = 1 + e ^ (2x) #. Для інтеграції по відношенню до # u #, ми ділимо на похідну від # u #, який # 2e ^ (2x) #:

eint x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u)

1 / (e ^ x * u) t

Для інтеграції по відношенню до # u #, нам потрібно все, що виражається в термінах # u #, тому нам треба вирішувати для чого # e ^ x # в термінах # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Тепер ми можемо включити його назад в інтеграл:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Далі ми введемо заміну # z = sqrt (u-1) #. Похідною є:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

тому ми розділяємо на неї інтеграцію по відношенню до # z # (пам'ятайте, що поділ співпадає з множенням на зворотний):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

1 / u t

Тепер ми знову маємо неправильну змінну, тому нам треба вирішувати для чого # u # дорівнює в термінах # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Це дає:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2)

Це загальна похідна Росії # tan ^ -1 (z) #, так ми отримуємо:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Скасовуючи всі заміни, отримуємо:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #