Відповідь:
Криву перетину можна параметризувати як # (z, r) = ((81/2) sin2 ата, 9) #.
Пояснення:
Я не впевнений, що ви маєте на увазі за допомогою векторної функції. Але я розумію, що ви прагнете представити криву перетину між двома поверхнями у формулі запитання.
Так як циліндр симетричний навколо # z # вісь, може бути простіше виразити криву в циліндричних координатах.
Змініть на циліндричні координати:
#x = r cos
#y = r sin
#z = z #.
# r # - відстань від # z # осі і # ата # - це кут проти годинникової стрілки # x # осі в # x, y # площині.
Тоді стає перша поверхня
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 anta + r ^ 2sin ^ 2
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, через піфагорійської тригонометричної ідентичності.
Друга поверхня стає
#z = xy #
eta rsin t
# z = r ^ 2sin.
З рівняння першої поверхні ми дізналися, що пересічна крива повинна бути на квадраті # r ^ 2 = 81 # від першої поверхні, даючи що
#z = 81 гріх, #z = (81/2) sin2, крива, параметризована # ата #. Останнім кроком є тригонометрична ідентичність і робиться саме з особистих уподобань.
З цього виразу ми бачимо, що крива дійсно є кривою, оскільки має один ступінь свободи.
Все, у всьому, ми можемо написати криву як
# (z, r) = ((81/2) sin2 ата, 9) #, яка є векторною функцією однієї змінної # ата #.
Відповідь:
Дивись нижче.
Пояснення:
Розглядаючи перетин
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z в RR):} #
с
# C_2-> z = x y #
або # C_1 nn C_2 #
ми маємо
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
тепер вирішується для # x ^ 2, y ^ 2 # отримуємо параметричні криві
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # або
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2) -4 z ^ 2)))):} #
які реальні для
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Прикріплений графік, що показує криву перетину червоним кольором (один аркуш).
