Що таке lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x?

Відповідь:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo #

Пояснення:

Розширення Маклорена Росії # e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……. #

Отже, # e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……. #

#:. lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) ((x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……) / x) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + …….) #

# = oo #

Відповідь:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo #

Пояснення:

Якщо розглядати чисельник і знаменник, то ми бачимо це # e ^ x-1 # зросте набагато швидше, ніж # x # коли # x # велика.

Це означає, що чисельник «випередить» знаменник, а розрив стане все більшим і більшим, так що на нескінченності знаменник буде просто незначним, залишивши нас:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) e ^ x-1 = oo #

Чому lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / ( 2x + ... + x + ...) = оо?

"Див. Пояснення" "Помножити на" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Тоді ви отримаєте" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(оскільки" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(тому що" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> oo}

Що таке межа lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x? + Приклад

Lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0. Ми визначаємо це, використовуючи правило L'hospital. Перефразовуючи, правило L'Hospital стверджує, що при заданні межі виду lim_ (x a) f (x) / g (x), де f (a) і g (a) є значеннями, які викликають граничне значення невизначеним (найчастіше, якщо обидва 0, або якась форма ), то до тих пір, поки обидві функції є неперервними і диференційованими в і в околі а, можна стверджувати, що lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) (f '(x)) / (g' (x)) Або на словах, межа частки двох функцій дорівнює межі частки їх похідних. У наведеному прикладі ми маємо f (x) = cos (x) -1 і g (x) =

Що таке lim_ (xto0 ^ +) ((1 / x) - ((1) / (e ^ (x) -1)))?

Lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 Сума двох термів: 1 / x-1 / (e ^ x-1) = (xe ^ x + 1) / (x (e ^ x-1)) Границя тепер знаходиться в невизначеній формі 0/0, тому ми можемо тепер застосувати l'-госпітальне правило: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x- 1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x)) / (d / dx x (e ^ x-1)) lim_ ( x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x ) і так як це до вигляду 0/0 вдруге: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (e ^ x-1 + xe ^ x)) lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x- 1)) =