Диференціювати cos (x ^ 2 + 1), використовуючи перший принцип похідної?

Відповідь:

# -sin (x ^ 2 + 1) * 2 x

Пояснення:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

Для цієї задачі нам необхідно використовувати ланцюгове правило, а також те, що похідна від #cos (u) = -sin (u) #. Правило ланцюга в основному просто стверджує, що ви можете спочатку вивести зовнішню функцію по відношенню до того, що знаходиться всередині функції, а потім помножити її на похідну функції, що знаходиться всередині функції.

Формально, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, де #u = x ^ 2 + 1 #.

По-перше, треба розробити похідну біта всередині косинуса, а саме # 2x #. Потім, знайшовши похідну косинуса (негативного синуса), ми можемо просто помножити його на # 2x #.

# = - sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Відповідь:

Дивіться нижче.

Пояснення:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Ми повинні знайти

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1)) / h #

Давайте зосередимося на вислові, чий межа ми потребуємо.

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - гріх (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - гріх (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h) ^ 2) / (h (2x + h)) (2x + h) #

Ми будемо використовувати такі обмеження:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (вартість-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

І #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x

Щоб оцінити обмеження:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #