Як диференціювати наступне параметричне рівняння: x (t) = t / (t-4), y (t) = 1 / (1-t ^ 2)?

Відповідь:

# dy / dx = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

Пояснення:

# dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) #

#y (t) = 1 / (1-t ^ 2) #

#y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt 1 -1d / dt 1-t ^ 2) / (1-t ^ 2) ^ 2 #

#color (білий) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 #

#color (білий) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 #

#x (t) = t / (t-4) #

#x '(t) = ((t-4) d / dt t -t d / dt t-4) / (t-4) ^ 2 #

#color (білий) (x '(t)) = (t-4-t) / (t-4) ^ 2 #

#color (білий) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 #

# dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 -: - 4 / (t-4) ^ 2 = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2xx- (t-4) ^ 2/4 = (- 2t (t-4) ^ 2) / (4 (1-t ^ 2) ^ 2) = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2)) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

Томас написав рівняння y = 3x + 3/4. Коли Сандра написала своє рівняння, вони виявили, що її рівняння мали всі ті ж рішення, що і рівняння Томаса. Яке рівняння може бути Сандра?

4y = 12x +3 12x-4y +3 = 0 Рівняння може бути дане в багатьох формах і все ще означатиме те ж саме. y = 3x + 3/4 "" (відома як форма нахилу / перехоплення). Помножена на 4 для видалення дробу: 4y = 12x +3 "" rarr 12x-4y = -3 "(стандартна форма) 12x- 4y +3 = 0 "" (загальна форма) Все це в найпростішій формі, але ми могли б також мати їх нескінченно варіації. 4y = 12x + 3 можна записати так: 8y = 24x +6 "" 12y = 36x +9, 20y = 60x +15 і т.д.

Як диференціювати наступне параметричне рівняння: x (t) = tlnt, y (t) = вартість-цин ^ 2т?

(df (t)) / dt = (ln (t) + 1, -sin (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t)) Диференціювання параметричного рівняння є таким же простим, як диференціювання кожного індивідуума рівняння для його складових. Якщо f (t) = (x (t), y (t)), то (df (t)) / dt = ((dx (t)) / dt, (dy (t)) / dt) Отже, спочатку визначимо похідні нашої складової: (dx (t)) / dt = ln (t) + t / t = ln (t) + 1 (dy (t)) / dt = -sin (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t) Тому кінцеві похідні параметричної кривої є просто вектором похідних: (df (t)) / dt = ((dx (t)) / dt, (dy (t)) / dt) = (ln (t) + 1, -sin (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t))

Як диференціювати наступне параметричне рівняння: x (t) = e ^ t / (t + t) ^ 2-t, y (t) = t-e ^ (t)?

Dx / dt = (e ^ t) / (4t ^ 2) - (e ^ t) / (2t ^ 3) - 1, dy / dt = 1 - e ^ t Тому що крива виражена через дві функції t можна знайти відповідь, диференціюючи кожну функцію окремо по відношенню до t. Спочатку відзначимо, що рівняння для x (t) можна спростити до: x (t) = 1/4 e ^ t 1 / (t ^ 2) - t Хоча y (t) можна залишити як: y (t) = t - e ^ t Розглядаючи x (t), легко побачити, що застосування правила продукту дасть швидку відповідь. Хоча y (t) є просто стандартною диференціацією кожного терміна. Використовуємо також те, що d / dx e ^ x = e ^ x. dx / dt = (e ^ t) / (4t ^ 2) - (e ^ t) / (2t ^ 3) - 1 dy / dt = 1 - e ^ t