Які максимальні та мінімальні значення виконують функції f (x) = x / (1 + x ^ 2)?

Відповідь:

Максимум: #1/2#

Мінімум: #-1/2#

Пояснення:

Альтернативним підходом є переставлення функції в квадратичне рівняння. Подобається це:

#f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 #

Дозволяє #f (x) = c "" # щоб вона виглядала акуратніше:-)

# => cx ^ 2-x + c = 0 #

Нагадаємо, що для всіх реальних коренів цього рівняння дискримінант є позитивним або нульовим

Так у нас є, # (- 1) ^ 2-4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 #

Це легко визнати # -1 / 2 <= c <= 1/2 #

Отже, # -1 / 2 <= f (x) <= 1/2 #

Це показує, що максимум є #f (x) = 1/2 # і мінімум є #f (x) = 1/2 #