Як знайти інтегральний intarctan (4x) dx?

Відповідь:

# I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C #

Пояснення:

# (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx #

Дозволяє, # tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udu ## rArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu #

# I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu #

Другий метод:

# (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx ## = tan ^ -1 (4x) * x-int (1 / (1 + 16x ^ 2) * 4) xdx #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8int (32x) / (1 + 16x ^ 2) dx #

# = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | 1 + 16x ^ 2 | + C #

Як знайти інтегральний intln (2x + 1) dx?

Заміною та інтеграцією частинами, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Подивимося на деякі деталі. int ln (2x + 1) dx підстановкою t = 2x + 1. Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt шляхом інтеграції частинами, Нехай u = ln t і dv = dt Rightarrow du = dt / t і v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C шляхом факторингу out t, = 1 / 2t (lnt-1) + C поклавши t = 2x + 1 назад, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C

Як знайти інтегральний intsin ^ -1 (x) dx?

За інтеграцією за частинами, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Подивимося на деякі деталі. Нехай u = sin ^ {- 1} x і dv = dx. Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} і v = x Через інтеграцію за частинами, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx Нехай u = 1-x ^ 2. Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = -1 / 2intu ^ {- 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C Отже, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C

Як знайти інтегральний intx ^ 5 * ln (x) dx?

Інтеграція за частинами, int x ^ 5lnx dx = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C Подивимося на деякі деталі. Нехай u = lnx і dv = x ^ 5dx. Rightarrow du = {dx} / x і v = x ^ 6/6 Інтеграція за частинами int udv = uv-int vdu, ми маємо int (lnx) cdot x ^ 5dx = (lnx) cdot x ^ 6/6-int x ^ 6 / 6cdot dx / x, спростивши біт, = x ^ 6 / 6lnx-int x ^ 5 / 6dx за правилом потужності, = x ^ 6 / 6lnx-x ^ 6/36 + C, факторизуючи x ^ 6 / 36, = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C