У нас є половина циліндричної покрівлі радіуса r і висоти r, встановленої зверху чотирьох прямокутних стін висотою h. Ми маємо 200 мкм ^ 2 пластикового листа, який буде використовуватися при побудові цієї структури. Яке значення r дозволяє максимальний обсяг?

Відповідь:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Пояснення:

Дозвольте мені повторити це питання, як я це розумію.

Передбачена площа поверхні цього об'єкта # 200pi #, максимізувати гучність.

План

Знаючи площу поверхні, ми можемо представляти висоту # h # як функція радіуса # r #, тоді ми можемо представляти об'єм як функцію тільки одного параметра - радіуса # r #.

Ця функція повинна бути максимально використана # r # як параметр. Це дає цінність # r #.

Площа поверхні містить:

4 стінки, які утворюють бічну поверхню паралелепіпеда з периметром основи # 6r # і висота # h #, які мають загальну площу # 6rh #.

1 дах, половина бічної поверхні циліндра радіуса # r # і висота # r #, що має площу #pi r ^ 2 #

2 сторони даху, півкруги радіуса # r #, загальна площа яких становить #pi r ^ 2 #.

Отримана загальна площа поверхні об'єкта

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Знаючи, що це рівно # 200pi #, ми можемо висловити # h # з точки зору # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Обсяг цього об'єкта складається з двох частин: Під дахом і всередині даху.

Під дахом ми маємо паралелепіпед з площею основи # 2r ^ 2 # і висота # h #, тобто її обсяг

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

У даху ми маємо половину циліндра з радіусом # r # і висота # r #його обсяг

# V_2 = 1 / 2пр ^ 3 #

Ми повинні максимізувати цю функцію

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

це виглядає так (не масштабувати)

графік {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Ця функція досягає свого максимуму, коли його похідна дорівнює нулю для позитивного аргументу.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

У районі #r> 0 # він дорівнює нулю, коли # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Це радіус, який дає найбільший об'єм, враховуючи площу поверхні і форму об'єкта.