Чому функція не диференціюється?

Відповідь:

#A) # Похідної не існує

#B) # Так

#C) # Ні

Пояснення:

Питання A

Ви можете бачити це кілька різних способів. Або ми можемо диференціювати функцію, щоб знайти:

#f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)) #

що не визначено в # x = 2 #.

Або ми можемо подивитися на межу:

#lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ (2/5) -3 (2) -2) ^ (3/5)) / h = #

# = lim_ (h-> 0) 0 / h #

Цей граничний ліміт не існує, що означає, що похідна не існує в цій точці.

Питання B

Так, теорема про середнє значення застосовується. Умова диференційованості в середній величині теореми лише вимагає, щоб функція була диференційованою на відкритому інтервалі # (a, b) # (IE немає # a # і # b # самі), так і на інтервалі #2,5#Теорема застосовується тому, що функція диференціюється на відкритому інтервалі #(2,5)#.

Також можна бачити, що дійсно є точка з середнім нахилом у цьому інтервалі:

Питання С

Як вже згадувалося раніше, теорема про середню величину вимагає, щоб функція була цілком диференційованою на відкритому інтервалі #(1,4)#, і ми раніше згадували, що функція не є диференційованою на # x = 2 #, що лежить в цьому інтервалі. Це означає, що функція не диференціюється на інтервалі, і тому теорема про середнє значення не застосовується.

Можна також побачити, що в інтервалі, що містить середній нахил на цій функції, не існує точки через «різкого вигину» в кривій.