Як би ви інтегрували int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Відповідь:

Цей інтеграл не існує.

Пояснення:

З #ln x> 0 # в інтервалі # 1, e #, ми маємо

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

тут, так що інтеграл стає

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Замінити #ln x = u #, потім # dx / x = du # так що

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {u}

Це невідповідний інтеграл, оскільки подинтегральна схема розходиться на нижній межі. Це визначається як

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

якщо це існує. Тепер

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

оскільки це розходиться в межах #l -> 0 ^ + #інтеграл не існує.

Відповідь:

# pi / 2 #

Пояснення:

Інтеграл # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Замініть спочатку # u = ln (x) # і # "d" u = ("d" x) / x #.

Таким чином, ми маємо

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Тепер замініть # u = sin (v) # і # "d" u = cos (v) "d" v #.

Потім, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) d) v = int_ (x = 1) ^ (x = e)) "d" v # з # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Продовжуючи, у нас є

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #