Чи є f (x) = 1-x-e ^ (- 3x) / x увігнутою або опуклою при x = 4?

Чи є f (x) = 1-x-e ^ (- 3x) / x увігнутою або опуклою при x = 4?
Anonim

Відповідь:

Візьмемо деякі похідні!

Пояснення:

Для #f (x) = 1 - x - e ^ (- 3x) / x #, ми маємо

#f '(x) = - 1 - (-3xe ^ (- 3x) -e ^ (- 3x)) / x ^ 2 #

Це спрощує (начебто)

#f '(x) = - 1 + e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 #

Тому

#f '' (x) = e ^ (- 3x) (- 3x-2) / x ^ 3-3e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 #

# = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3-3 (3x + 1) / x ^ 2) #

# = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3 + (- 9x-3) / x ^ 2) #

# = e ^ (- 3x) ((- - 3x-2) / x ^ 3 + (- 9x ^ 2-3x) / x ^ 3) #

# = e ^ (- 3x) ((- - 9x ^ 2-6x-2) / x ^ 3) #

Тепер x = 4.

#f '' (4) = e ^ (- 12) ((- - 9 (16) ^ 2-6 (4) -2) / 4 ^ 3) #

Зауважте, що експоненція завжди позитивна. Чисельник дробу негативний для всіх позитивних значень x. Знаменник позитивний для позитивних значень x.

Тому #f '' (4) <0 #.

Напишіть свій висновок про увігнутість.