Чи є f (x) = e ^ x / x-x ^ 3-3 увігнутою або опуклою при x = -1?

Відповідь:

# Опукла #

Пояснення:

Щоб перевірити, чи є функція опуклою або увігнутою, ми повинні знайти#f '' (x) #

Якщо #color (коричневий) (f '' (x)> 0) # потім #color (коричневий) (f (x)) # є #color (коричневий) (опуклий) #

Якщо #color (коричневий) (f '' (x) <0) # потім #color (коричневий) (f (x)) # є #color (коричневий) (увігнутий) #

спочатку знайдемо #color (синій) (f '(x)) #

#f '(x) = ((e ^ x) / x)' - (x ^ 3) '- (3)' #

#f '(x) = (xe ^ x-e ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2-0 #

#color (синій) (f '(x) = (xe ^ x-e ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2) #

Тепер знайдемо #color (червоний) (f '' (x)) #

#f '' (x) = ((xe ^ x-e ^ x) 'x ^ 2- (x ^ 2)' (xe ^ x-e ^ x)) / (x ^ 2) ^ 2-6x #

#f '' (x) = ((e ^ x + xe ^ x-e ^ x) x ^ 2-2x (xe ^ x-e ^ x)) / x ^ 4-6x #

#f '' (x) = (x ^ 3e ^ x-2x ^ 2e ^ x-2xe ^ x) / x ^ 4-6x #

Давайте спростимо частку на # x #

#color (червоний) (f '' (x) = (x ^ 2e ^ x-2xe ^ x-2e ^ x) / x ^ 3-6x) #

Тепер обчислимо #color (коричневий) (f '' (- 1) #

#f '' (- 1) = ((- 1) ^ 2e ^ (- 1) -2 (-1) e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) ^ 3-6 (-1) #

#f '' (- 1) = (e ^ (- 1) + 2e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) + 6 #

#color (коричневий) (f '' (- 1) = - e ^ (- 1) +6) #

#color (коричневий) (f '' (- 1)> 0 #

Тому,#f '' (x)> 0 # в # x = -1 #

Тому,#f (x) # є covex у # x = -1 #

графік {e ^ x / x - x ^ 3 -3 -20, 20, -20, 20}