Якщо можливо, знайдіть таку функцію f, що grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Відповідь:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Пояснення:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Тепер візьмемо" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Тоді ми маємо один і той же f, який задовольняє умовам".

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Відповідь:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Пояснення:

Ми маємо погані позначення в питанні, як оператор del (або оператор градієнта) є векторним диференційним оператором, Ми шукаємо функції #f (x, y) # такий, що:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Де #bb (grad) # оператор градієнта:

# "grad" f = bb (grad) f = (часткова f) / (часткова x) bb (ul hat i) + (часткова f) / (часткова x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

З якого ми вимагаємо:

# f_x = (часткова f) / (часткова x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 t t ….. A

# f_y = (часткова f) / (часткова y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 t ….. B

Якщо ми інтегруємо A wrt # x #, під час лікування # y # як константа, ми отримуємо:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Якщо інтегрувати B wrt # y #, під час лікування # x # як константа, ми отримуємо:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Де #u (y) # є довільною функцією # y # самостійно і #v (x) # є довільною функцією # x # самостійно.

Ми, очевидно, вимагаємо, щоб ці функції були ідентичними, таким чином, ми маємо:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

І тому ми вибираємо #v (x) = x ^ 4 # і #u (y) = y ^ 6 #, що дає нам наше рішення:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Ми можемо легко підтвердити рішення, обчисливши часткові похідні:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (град) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED