Відповідь:
Дотична лінія паралельна # x # осі при нахилі (звідси # dy / dx #) дорівнює нулю і він паралельний # y # вісь при нахилі (знову ж таки, # dy / dx #) прямує до # oo # або # -оо #
Пояснення:
Почнемо з пошуку # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Тепер, # dy / dx = 0 # коли використовується нуімератор #0#за умови, що це також не є знаменником #0#.
# 2x + y = 0 # коли #y = -2x #
Зараз ми маємо два рівняння:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Вирішити (за підстановкою)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Використання #y = -2x #, ми отримуємо
Дотична до кривої горизонтальна в двох точках:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # і # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Зауважте, що ці пари не роблять також і знаменника # dy / dx # дорівнює #0#)
Щоб знайти точки, в яких дотична вертикальна, зробіть знаменник # dy / dx # рівний tpo #0# (також не роблячи чисельник #0#).
Ми могли б пройти через рішення, але симетрію рівняння, яке ми отримаємо:
# x = -2y #, тому
#y = + - sqrt21 / 3 #
і точки на кривій, у яких дотична вертикальна:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # і # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
До речі. Оскільки ми маємо технологію, ось графік цього повернутого еліпса: (Зауважте, що це # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # які можна побачити на графіку.)
графік {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Відповідь:
Використовуючи тільки математику середньої школи я отримую
Дотичні паралельно осі x в:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) та (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Дотичні, паралельні осі у:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) та (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Пояснення:
Я подивився на відповідь Джима, який виглядає як приємне стандартне лікування. Але я не міг не відчувати сумніву за всіх середніх школярів, що перебувають у землі Сократа, які хочуть знайти дотичні алгебраїчні криві, але все ще років від обчислення.
На щастя, вони можуть виконувати ці проблеми, використовуючи тільки алгебру I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Це може бути трохи складніше для першого прикладу, але давайте підемо з ним. Ми пишемо нашу криву як #f (x, y) = 0 # де
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Давай візьмемо # (r, s) # як пункт на # f #. Ми хочемо розслідувати # f # близько # (r, s) # так ми пишемо
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Ми розширюємо, але не розширюємо терміни різниці # x-r # і # y-s #. Ми хочемо зберегти ці цілі, щоб ми могли експериментувати з усуненням деяких пізніше.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Ми сказали # (r, s) # увімкнено # f # тому #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Ми відсортували терміни за ступенем, і ми можемо експериментувати з наближеннями # f # близько # (r, s) # знижуючи вищі ступені. Ідея коли # (x, y) # близько # (r, s) # потім # x-r # і # y-s # дрібні, а їх квадрати і вироби ще менші.
Давайте просто генеруємо деякі наближення # f #. З # (r, s) # знаходиться на кривій, постійне наближення, скидаючи всі різницеві терміни, є
# f_0 (x, y) = 0 #
Це не особливо захоплююче, але це правильно говорить нам пункти поруч # (r, s) # дасть значення, близьке до нуля для # f #.
Давайте цікавіше і збережемо лінійні терміни.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Коли ми встановлюємо це до нуля, отримуємо найкраще лінійне наближення до # f # близько # (r, s), # що є дотична лінія до # f # в # (r, s). # Тепер ми кудись потрапляємо.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Можна також розглянути інші наближення:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Тангенти вищого порядку, які студенти математики в коледжі навряд чи дістануть. Ми вже вийшли за межі коледжу.
Є більше наближень, але мене попереджають, що це давно. Тепер, коли ми навчилися робити обчислення, використовуючи тільки алгебру I, зробимо проблему.
Ми хочемо знайти точки, де дотична лінія є паралельною # x # осі і # y # осі.
Ми знайшли нашу дотичну лінію # (r, s) # є
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Паралельно # x # вісь означає рівняння #y = text {constant} #. Так коефіцієнт на # x # має бути нульовим:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # знаходиться на кривій так #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
З # s = -2r # пункти
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) та (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Аналогічно паралельно осі y означає # 2s + r = 0 # яка повинна просто міняти x і y у зв'язку з симетрією проблеми. Таким чином, інші пункти
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) та (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Перевірити.
Як перевірити? Давайте зробимо альфа-сюжет.
ділянка x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Виглядає добре. Обчислення на алгебраїчних кривих. Дуже добре для середньої школи.
