Нехай 5a + 12b і 12a + 5b - довжини сторони прямокутного трикутника, а 13a + kb - гіпотенуза, де a, b і k - цілі позитивні числа. Як знайти найменше можливе значення k і найменші значення a і b для цього k?

Відповідь:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Пояснення:

За теоремою Піфагора ми маємо:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Це:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (білий) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Відніміть ліву сторону з обох кінців, щоб знайти:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

# color (білий) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

З #b> 0 # ми вимагаємо:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Потім з тих пір #a, b> 0 # ми вимагаємо # (240-26k) # і # (169-k ^ 2) # мати протилежні знаки.

Коли #k у 1, 9 # обидва # 240-26k # і # 169-k ^ 2 # позитивні.

Коли #k у 10, 12 # ми знайшли # 240-26k <0 # і # 169-k ^ 2> 0 # по мірі необхідності.

Так мінімально можливе значення # k # є #10#.

Потім:

# -20a + 69b = 0 #

Потім з тих пір #20# і #69# не мають спільного фактора більше, ніж #1#, мінімальні значення # a # і # b # є #69# і #20# відповідно.