Нехай S - квадрат площі одиниці. Розглянемо будь-який чотирикутник, який має одну вершину з кожної сторони S. Якщо a, b, c і d позначають довжини сторін чотирикутника, докажімо, що 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Дозволяє #А Б В Г# квадрат квадратної площі.

Тому # AB = BC = CD = DA = 1 # одиниці.

Дозволяє # PQRS # бути чотирикутником, який має одну вершину з кожної сторони квадрата. Ось нехай # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Застосовуючи Pythagoras thorem ми можемо писати

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Тепер у нас проблема

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Звідси

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #