Які приклади використання графіків для вирішення проблем у словах?

Ось простий приклад словесної проблеми, де граф допомагає.

З точки # A # на час # t = 0 # один автомобіль почав рух зі швидкістю # s = U # вимірюється в деяких одиницях довжини на одиницю часу (скажімо, метри в секунду).

Пізніше, в той час # t = T # (використовуючи ті ж самі одиниці часу, як і раніше, як і секунди) інший автомобіль почав рухатися в тому ж напрямку по тій же дорозі зі швидкістю # s = V # (вимірюється в тих же одиницях, скажімо, в метрах на секунду).

У який час другий автомобіль ловить з першим, тобто обидва будуть на тій же відстані від точки # A #?

Рішення

Має сенс визначити функцію, яка представляє залежність відстані # y # кожен автомобіль від часу # t #.

Перший автомобіль почався в # t = 0 # і рухалися з постійною швидкістю # s = U #. Тому для цього автомобіля виглядає лінійне рівняння, що виражає цю залежність #y (t) = U * t #.

Другий автомобіль почав пізніше # T # одиниць часу. Отже, для першого # T # одиниць вона не покривала ніякої відстані, так #y (t) = 0 # для #t <= T #. Потім він починає рухатися зі швидкістю # V #, так це рівняння руху буде #y (t) = V * (t-T) # для #t> T #. У цьому випадку функція визначається двома різними формулами на двох різних сегментах аргументу # t # (час).

Алгебраїчно вирішення цієї проблеми можна знайти, вирішивши рівняння

# U * t = V * (t-T) #

що призводить до

# t = (V * T) / (V-U) #

Очевидно, # V # повинна бути більше ніж # U # (інакше другий автомобіль ніколи не наздожене першого).

Зазначимо конкретні цифри:

# U = 1 #

# V = 3 #

# T = 2 #

Тоді рішенням є:

# t = (3 * 2) / (3-1) = 3 #

Якщо ми не настільки добре розбираємося в алгебрі і рівняннях, щоб побудувати рівняння вище, можна використати графіки цих двох функцій для візуалізації проблеми.

Графік функції #y (t) = 1 * t # виглядає так:

графік {x -1, 10, -1, 10}

Графік функції #y (t) = 0 # якщо #t <= 2 # і #y (t) = 3 * (t-2) # якщо #t> 2 # виглядає так:

graph1.5x +

Якщо намалювати обидва графіки на одній координатній площині, то вони перетинаються (виглядає так # t = 3 # коли обидві функції дорівнюють #3#) - час, коли обидва автомобілі знаходяться в одному місці. Це відповідає нашому алгебраїчному рішенню # t = 3 #.

У цьому та багатьох інших випадках графік може не забезпечити точне рішення, але це дуже допомагає зрозуміти реальність проблеми.

Крім того, графічне представлення проблеми допоможе знайти точний аналітичний підхід до точного рішення. У наведеному вище прикладі цей процес перетину двох графів дає сильний натяк на рівняння, що використовується для алгебраїчного вирішення проблеми.