Питання 92256

Відповідь:

Див. Пояснення

Пояснення:

Розбийте це на дві частини, спочатку на внутрішню частину:

# e ^ x #

Це позитивно і зростає для всіх дійсних чисел і переходить від 0 до # oo # як # x # виходить з # -оо # до # oo #

Ми маємо:

#arctan (u) #

Має праву горизонтальну асимптоту на # y = pi / 2 #. Перехід від # u = 0 rarr oo #, at # u = 0 # ця функція позитивна і зростає над цим доменом, приймає значення 0 at # u = 0 #, значення # pi / 4 # в # u = 1 # і значення # pi / 2 # в # u = oo #.

Тому ці точки отримують # x = -oo, 0, oo # відповідно, і в результаті ми отримаємо такий графік:

граф {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Яка позитивна частина # arctan # Функція розтягується по всій реальній лінії, ліве значення розтягується в горизонтальну асимптоту на # y = 0 #.

Відповідь:

Див. Пояснення

Пояснення:

Домен є # RR #

Симетрія

Ні по відношенню до # x # осі ні w.r.t походження.

#arctan (e ^ (- x)) # не спрощує #arctan (e ^ x) #

ні до # -arctan (e ^ x) #

Перехоплює

# x # перехоплює: немає

Ми не можемо отримати #y = 0 # тому що це вимагатиме # e ^ x = 0 #

Але # e ^ x # ніколи #0#, це тільки підходи #0# як # xrarr-oo #.

Тому, # yrarr0 # як # xrarr-oo # і # x # вісь os горизонтальна

асимптота ліворуч.

# y # перехоплювати: # pi / 4 #

Коли # x = 0 #, ми отримуємо #y = arctan (1) = pi / 4 #

Асимптоти:

Вертикальна: немає

# arctan # між ними # -pi / 2 # і # pi / 2 # за визначенням, так ніколи не йде # oo #

Горизонтально:

Ліворуч: # y = 0 # як обговорювалося вище

Праворуч: # y = pi / 2 #

Ми знаємо, що, як # thetararrpi / 2 # с #theta <pi / 2 #, ми отримуємо #tantheta rarr oo #

так, як # xrarroo #, ми отримуємо # e ^ x rarroo #, тому # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Перша похідна

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # ніколи #0# і ніколи не визначено, тому немає критичних чисел.

Для кожного # x # ми маємо #y '> 0 # тому функція збільшується # (- oo, oo) #

Місцевих екстремумів немає.

Друга похідна

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # ніколи не визначено, і воно є #0# в # x = 0 #

Знак #y '' #:

Увімкнено # (- oo, 0) #, ми отримуємо # e ^ (2x) <1 # тому #y ''> 0 # і графік увігнутий

Увімкнено # (0, oo) #, ми отримуємо # e ^ (2x)> 1 # тому #y '' <0 # і графік увігнутий вниз

Увігнутість змінюється на # x = 0 #, так що точка перегину:

# (0, pi / 4) #

Тепер намалюйте графік