Чому ми не можемо інтегрувати x ^ x?

Відповідь:

Ми не маємо правила для цього.

Пояснення:

У інтегралах є стандартні правила. Анти-ланцюгове правило, анти-продукт правило, анти-влада правило, і так далі. Але у нас немає такої функції, яка має # x # і в базі, і в силі. Ми можемо взяти похідну від неї просто чудово, але намагатися взяти її інтеграл неможливо через відсутність правил, з якими він працюватиме.

Якщо ви відкриваєте Desmos Graphing Calculator, ви можете спробувати підключити

# int_0 ^ x a ^ ada #

і він буде граф це просто чудово. Але якщо ви спробуєте скористатися правилом анти-потужності або анти-експонентом, щоб граф проти нього, ви побачите, що він не працює. Коли я спробував знайти його (на якому я все ще працюю), я зробив перший крок, щоб відмовитися від цієї форми й у наступне:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Це, по суті, дозволяє нам краще використовувати правила числення. Але навіть при використанні Integration by Parts ви ніколи не позбавляєтеся інтеграла. Таким чином, ви фактично не отримуєте функцію для її визначення.

Але як завжди в математиці, це цікаво експериментувати.Отже, спробуйте, але не занадто довго або важко, ви будете втягуватися в цю кролячу дірку.

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

#y = x ^ x # можуть бути інтегровані. Наприклад

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0,783430510712135 … #

Інша річ - мати тепер дні, функцію #f (x) # що представляє в замкнутій формі примітив для Росії # x ^ x # або іншими словами, такими, що

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Якби це була функція загального використання в техніко-наукових проблемах, то ми б винайшли диференційоване ім'я та символ для маніпулювання ним. Як функція Ламберта, визначена як

#W (x) = x e ^ x #

Відповідь:

Дивіться нижче.

Пояснення:

Як зауважив Кесарео (не кажучи вже про це), в «ми не можемо інтегруватися» є певна неоднозначність.

Функція #f (x) = x ^ x # є безперервним # (0, oo) #

і далі # 0, oo) # якщо ми зробимо #f (0) = 1 #Так що давайте зробимо це. Тому певний інтеграл

# int_a ^ b x ^ x dx # існує для всіх # 0 <= a <= b #

Крім того, фундаментальна теорема Калулу говорить нам про функцію # int_0 ^ x t ^ t dt # має похідну # x ^ x # для #x> = 0 #

Те, що ми не можемо зробити, це висловити в красивій, кінцевій, закритій формі алгебраїчних виразів (або навіть добре знати трансцендентні функції).

У математиці є багато речей, які не можна виразити, крім як у формі, яка дозволяє послідовно покращувати наближення.

Наприклад:

Число, квадрат якого є #2# не може бути виражена в десятковій або дробовій формі з використанням кінцевого виразу. Отже, ми даємо йому символ, # sqrt2 # і наблизити її до будь-якого бажаного рівня точності.

Відношення окружності до діаметра кола не може бути кінцево виражене з використанням кінцевої алгебраїчної комбінації цілих чисел, тому ми називаємо її назвою, # pi # і наблизити її до будь-якого бажаного рівня точності.

Рішення # x = cosx # також можна апроксимувати до будь-якого бажаного ступеня точності, але не може бути кінцево вираженою. Це число (мабуть) недостатньо важливе для назви.

Як сказав Кесарео, якщо інтеграл з # x ^ x # мали багато додатків, математики прийняли б ім'я для нього.

Але обчислення все одно потребують нескінченного наближення.