Що таке формула для знаходження області регулярного додекагона?

Відповідь:

#S _ ("звичайний додекагон") = (3 / (tan 15 ^ @)) "сторона" ^ 2 ~ = 11.196152 * "сторона" ^ 2 #

Пояснення:

Розглядаючи регулярний додекагон, вписаний в коло, ми бачимо, що він утворений 12 рівнобедреними трикутниками, сторони яких є радіусом кола, радіусом кола і стороною додекагона; в кожному з цих трикутників кут, протилежний стороні додекагона, дорівнює #360^@/12=30^@#; площа кожного з цих трикутників # ("сторона" * "висота) / 2 #, нам потрібно лише визначити висоту, перпендикулярну стороні додекагона для вирішення проблеми.

У згаданому рівнобедреному трикутнику, підставою якого є сторона додекагона і рівними сторонами якої є радіуси кола, кут якого протилежний від основи (# alpha #) дорівнює #30^@#, з вершини, в якій зустрічаються радіуси кола, зустрічається лише лінія точка С), що перехоплює перпендикулярно стороні додекагона: ця лінія перекриває кут # alpha # а також визначає висоту трикутника між точкою С і точкою, у якій перехоплюється база (точка М), а також ділить основу на дві рівні частини (все тому, що два менших трикутника, сформовані таким чином, є конгруентними).

Оскільки два згадані менші трикутники є правильними, можна визначити висоту рівнобедреного трикутника таким чином:

#tan (альфа / 2) = "протилежний катетус" / "сусідній катетус" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("сторона" / 2) / "висота" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Тоді ми маємо

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (трикутник) = 12 * (("сторона") ("висота")) / 2 = 6 * ("сторона") ("сторона") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("сторона") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #