Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) нове запитання ?

#a) #

Вам просто потрібно взяти #Psi ^ "*" Psi #.

#color (синій) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = колір (синій) (1 / L гріх ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Період можна знайти з мінімальним зусиллям, просто спочатку знаючи енергії, які є константами руху.

Енергія Росії # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # є # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #і енергії # phi_2 # є # 4E_1 #. Тому частота # omega_2 # з # phi_2 # в чотири рази більше # phi_1 # (# omega_1 #).

У результаті цього періоду # T_1 = (2pi) / (omega_1) # з # phi_1 # в чотири рази більше # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, а також є періодом # phi_2 #.

Таким чином, цей період #color (синій) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Я дозволю вам підключити цей в собі, як #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Вам не потрібно нічого робити з ним …

Ми знаємо це #T = (2pi) / (omega_1) #, і що # (iEt) / io = iomegat #, тому

#E_n = omega_nℏ #.

Як результат, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

і

# color (блакитний) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = колір (синій) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Ймовірність знаходження частинки в Росії # 0, L / 2 # дано як

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) гріх ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Перші два терміни симетричні з половиною амплітуди і виходу #50%# загалом.

Третій термін мав би ймовірність стаціонарного стану # 4 / (3pi) #, і # cos # є довільним фазовим фактором. Таким чином, загальна ймовірність є

# = колір (синій) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (blue) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Немає тривіального рішення для цього … Це виявляється:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = колір (блакитний) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi-8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

У #x = L / 2 #, # sin # терміни #sin (pi / 2) = 1 # і до #sin (pi) = 0 #відповідно.

З #sin (pi) = 0 #, що залежить від часу #Psi ^ "*" Psi # зникає і зберігається незалежна від часу частина # 1 / L # як щільність ймовірності.