Що таке довжина сходів, якщо сходи довжини L виконуються горизонтально навколо кута від залу шириною 3 фути в зал шириною 4 футів?

Розглянемо сегмент лінії, з якого виконується # (x, 0) # до # (0, y) # через внутрішній кут #(4,3)#.

Мінімальна довжина цього відрізка лінії буде максимальною довжиною трапа, яку можна маневрувати навколо цього кута.

Припустимо, що # x # виходить за рамки #(4,0)# за деяким коефіцієнтом масштабування, # s #, з 4, так

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

стежте за # (1 + s) # з'являються пізніше як значення, яке слід віднести до чогось.

Подібними трикутниками ми бачимо це

#y = 3 (1 + 1 / с) #

За теоремою Піфагора можна виразити квадрат довжини відрізка лінії як функцію від # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Зазвичай ми беремо на себе похідну L (s), щоб знайти мінімум, але в цьому випадку легше взяти похідну # L ^ 2 (s) #.

(Зауважте, що якщо #L (s) # є мінімальним, як # s = s_0 #, потім # L ^ 2 (s) # буде також мінімум на # s = s_0 #.)

Приймаючи першу похідну Росії # L ^ 2 (s) # і встановивши його на нуль, отримуємо:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Помноження на # s ^ 3 # а потім виведення факторингу # 2 (1 + s) #

дозволяє вирішити для # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Підключення цього значення до рівняння для # L ^ 2 (s) # і, приймаючи квадратний корінь (я використовував таблицю), ми отримуємо

максимальна довжина сходів # = 9,87 футів # (прибл.)