Як вирішити з інтеграцією?

Відповідь:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Area" = 117/4 #

Пояснення:

Q - х-перехрестя лінії # 2x + y = 15 #

Щоб знайти цю точку, нехай # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Тому # Q = (15 / 2,0) #

P - точка перехоплення між кривою і лінією.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# в #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # або # x = 3 #

З графіка x координати P позитивні, тому ми можемо відкинути # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

граф {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Тепер по області

Щоб знайти загальну площу цього регіону, ми можемо знайти дві області і додати їх разом.

Це буде область під # y = x ^ 2 # від 0 до 3, а площа під лінією від 3 до 15/2.

# "Площа під кривою" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Ми можемо розробити область лінії через інтеграцію, але її легше розглядати як трикутник.

# "Площа під лінією" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "Загальна площа зафарбованого регіону" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Відповідь:

Для 3 & 4

Том зроблено 10

Пояснення:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x)

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x)

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Відповідь:

Дивись нижче:

Увага: довга відповідь!

Пояснення:

Для (3):

Використання властивості:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Звідси:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Для (4):

(однакові речі)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Однак, ми повинні поміняти обмеження на інтеграл, тому:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Тому:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Для 10 (а):

У нас є дві функції, що перетинаються на # P #, так на # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Я перетворив функцію лінії на форму нахилу нахилу)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

Тому # x = 3 # як ми праворуч від # y # вісь, так #x> 0 #.

(введення # x = 3 # в будь-яку з функцій)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Отже координати Росії # P # є #(3,9)#

Для # Q #, лінія # y = -2x + 15 # ріже # y #-аксіс, так # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7,5 #

Тому # Q # знаходиться на #(7.5, 0)#

Для 10 (b).

Я буду будувати два інтеграли, щоб знайти область. Інтеграли я буду вирішувати окремо.

Область:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Вирішити перший інтеграл)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(Замініть межі на інтегрований вираз, пам'ятайте:

Верхня нижня межа знайти значення інтеграла)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(вирішити другий інтеграл)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(межі заміни: верхня-нижня)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #