Що таке проекція <0, 1, 3> на <0, 4, 4>?

Відповідь:

Векторна проекція #< 0,2,2 >#, скалярна проекція # 2sqrt2 #. Дивись нижче.

Пояснення:

Дано # veca = <0,1,3> # і # vecb = <0,4,4> #, ми можемо знайти #proj_ (vecb) veca #, вектор проекція # veca # на # vecb # використовуючи таку формулу:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Тобто точковий твір двох векторів ділиться на величину # vecb #, помножений на # vecb # ділиться на його величину. Друга величина - векторна величина, оскільки ми ділимо вектор на скаляр. Зауважте, що ми ділимо # vecb # за його величиною для того, щоб отримати a блок вектор (вектор з величиною #1#). Ви можете помітити, що перша величина є скалярною, оскільки ми знаємо, що коли ми беремо точковий продукт з двох векторів, то результуючим є скаляр.

Тому скалярний проекція # a # на # b # є #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, також написано # | proj_ (vecb) veca | #.

Ми можемо почати з точкового продукту двох векторів:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Тоді ми можемо знайти величину # vecb # беручи квадратний корінь із суми квадратів кожного з компонентів.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

І тепер у нас є все необхідне, щоб знайти векторну проекцію # veca # на # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Скалярна проекція # veca # на # vecb # це лише перша половина формули, де #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Отже, скалярна проекція є # 16 / sqrt (32) #, що ще більше спрощує # 2sqrt2 #. Нижче наведено спрощення.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Сподіваюся, що це допоможе!