Який нахил лінії до нормальної дотичної лінії f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) при x = (15pi) / 8?

Відповідь:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Інтерактивний графік

Пояснення:

Перше, що нам потрібно зробити, це розрахувати #f '(x) # в #x = (15pi) / 8 #.

Давайте зробимо цей термін терміном. Для # sec ^ 2 (x) # Зауважте, що ми маємо дві функції, вбудовані один в одного: # x ^ 2 #, і #sec (x) #. Отже, нам потрібно використовувати правило ланцюга:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2 сек (x) * d / dx (сек (x)) #

#color (синій) (= 2сек ^ 2 (x) tan (x)) #

Для другого терміну, нам потрібно буде використовувати правило продукту. Тому:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = колір (червоний) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + колір (червоний) (d / dxcos (x-pi / 4))) (x) #

#color (синій) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Ви можете задатися питанням, чому ми не використовували ланцюгове правило для цієї частини, оскільки у нас є # (x - pi / 4) # всередині косинуса. Відповідь ми непрямо зробили, але ми його ігнорували. Зверніть увагу, як похідна від # (x - pi / 4) # це просто 1? Отже, помножуючи це на не змінює нічого, тому ми не пишемо це в розрахунках.

Тепер ми поклали все разом:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = колір (фіолетовий) (2сек ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Слідкуйте за своїми ознаками.

Тепер нам необхідно знайти нахил лінії, дотичної до #f (x) # в #x = (15pi) / 8 #. Для цього ми просто підключаємо це значення до #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2сек ^ 2 ((15pi) / 8) загар ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = колір (фіолетовий) (~~ -6.79) #

Однак, що ми хочемо, не лінія, дотична до f (x), а лінія нормальний до неї. Щоб отримати це, ми просто приймаємо негативну зворотну величину нахилу вище.

#m_ (норма) = -1 / -15.78 колір (фіолетовий) (~~ 0.015) #

Тепер ми просто підібрали все у форму схилу точки:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Подивіться на цей інтерактивний графік, щоб побачити, як це виглядає!

Сподіваюся, що допомогла:)