Яка межа, коли х наближається до нескінченності (1 + a / x) ^ (bx)?

Використовуючи логарифм і правило l'Hopital, #lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

За допомогою заміни # t = a / x # або еквівалентно # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Використовуючи логарифмічні властивості,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

За правилом l'Hopital, #lim_ {t до 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t до 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Отже, #lim_ {x to infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t до 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Примітка: #t to 0 # як #x до змісту #)