Реальні числа a, b і c задовольняють рівнянню: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Як довести, що a = 2b = c?

Відповідь:

# a = 2b = 3c # Див. Пояснення та доказ нижче.

Пояснення:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0 #

Зверніть увагу на те, що всі коефіцієнти єдині, за винятком ^ 2, тобто: 3, переписані як наступні до групи для факторингу:

# a ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a ^ 2-12ac + 18c ^ 2 = 0 #

# (a ^ 2-4ab + 4b ^ 2) +2 (a ^ 2-6ac + 9c ^ 2) = 0 #

# (a - 2b) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

Ми маємо досконалий квадратний термін плюс двічі досконалий квадрат іншого терміна, що дорівнює нулю, щоб це було вірно, кожен член суми повинен дорівнювати нулю, тоді:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # і # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# a-2b = 0 # і # a-3c = 0 #

# a = 2b # і # a = 3c #

таким чином:

# a = 2b = 3c #

Звідси доведено.