Як знайти екстремуми для g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Відповідь:

#g (x) # не має максимального та глобального та місцевого мінімуму в # x = -1 #

Пояснення:

Зауважте, що:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Так функція

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

визначається для кожного #x у RR #.

Крім того, як #f (y) = sqrty # є монотонно зростаючою функцією, то будь-який екстремум для #g (x) # також є екстремумом для:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Але це поліном другого порядку з провідним позитивним коефіцієнтом, отже, він не має максимуму і єдиного локального мінімуму.

Від #(1)# ми можемо легко побачити, як:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

і:

# x + 1 = 0 #

тільки коли # x = -1 #, потім:

#f (x)> = 4 #

і

#f (x) = 4 #

лише для # x = -1 #.

Отже:

#g (x)> = 2 #

і:

#g (x) = 2 #

лише для # x = -1 #.

Можна зробити висновок #g (x) # не має максимального та глобального та місцевого мінімуму в # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # x ## у ## RR #

Нам потрібно # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ## x ## у ## RR #:

#g '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• Для #x <-1 # ми маємо #g '(x) <0 # тому # g # строго зменшується в # (- oo, -1) #

• Для #x> ##-1# ми маємо #g '(x)> 0 # тому # g # строго зростає в Росії. t # - 1, + oo) #

Звідси #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # AA ## x ## у ## RR #

Як результат # g # має глобальний мінімум на # x_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #