Покажіть, що int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Відповідь:

Див. Пояснення

Пояснення:

Ми хочемо показати

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1

Це досить "потворний" інтеграл, тому наш підхід не буде вирішувати цей інтеграл, а порівнювати його з "більш приємним" інтегралом

Тепер це для всіх позитивних дійсних чисел #color (червоний) (sin (x) <= x) #

Таким чином, значення підінтеграла буде також більшим для всіх позитивних дійсних чисел, якщо ми підставимо # x = sin (x) #, так що якщо ми можемо показати

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1

Тоді наша перша заява також повинна бути правдою

Новий інтеграл - це проста задача заміщення

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1

Останній крок - це помітити #sin (x) = x => x = 0 #

Тому можна зробити висновок

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1