Відповідь:
Рівняння параболи # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Пояснення:
Як вісь симетрії є # x + y + 1 = 0 # і фокус лежить на ньому, якщо абсциса фокусу # p #, ординати є # - (p + 1) # координати фокусу # (p, - (p + 1)) #.
Далі, directrix буде перпендикулярно осі симетрії, а її рівняння буде мати вигляд # x-y + k = 0 #
Оскільки кожна точка на параболі рівновіддалена від фокуса і директики, її рівняння буде
# (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y + k) ^ 2/2 #
Ця парабола проходить через #(0,0)# і #(0,1)# і отже
# p ^ 2 + (p + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) та
# p ^ 2 + (p + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
Віднімаючи (1) з (2), отримуємо
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, що дає # k = -2p-5/2 #
Це зменшує рівняння параболи до # (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y-2p-5/2) ^ 2/2 #
і як вона проходить #(0,0)#, ми отримуємо
# p ^ 2 + p ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # або # 4p + 2 = 25/4 + 10p #
тобто # 6p = -17 / 4 # і # p = -17 / 24 #
і отже # k = -2xx (-17/24) -5 / 2 = -13 / 12 #
і рівняння параболи як
# (x + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-y-13/12) ^ 2/2 # і множення на #576=24^2#, ми отримуємо
або # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
або # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
або # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
або # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
граф {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11.42, 8.58, -2.48, 7.52}
