Відповідь:
# 1 / 2арктан (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #
Пояснення:
Отже, тут ми маємо інтеграл:
#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
А форма квадратичної взаємності, як видається, припускає, що тригонометричне заміщення буде працювати тут. Тому спочатку завершіть квадрат, щоб отримати:
# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #
Потім застосуйте заміну #u = x-1 # видалити лінійний:
# (du) / dx = 1 #
#rArr du = dx #
Тому ми можемо безпечно змінювати змінні без небажаних побічних ефектів:
#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #
# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #
Тепер це ідеальна форма для виконання тригонометричної заміни; # u ^ 2 + 1 # Пропонується піфагорейська ідентичність # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, тому ми застосовуємо заміну #u = tantheta # спростити знаменник:
# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #
#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #
Таким чином, інтеграл стає:
#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * сек ^ 2 тета d тета #
# = int 1 / (сек ^ 2 тета) d theta #
# - = int cos ^ 2 theta d theta #
Тепер ми використовуємо формулу подвійного кута # cos # зробити цей антидериватив більш керованим:
#cos (2theta) = 2кос ^ 2 тета - 1 #
#hArr cos ^ 2 тета = 1/2 (cos (2 тета) + 1) #
Потім помістіть це в інтеграл:
# 1/2 int cos (2 тета) + 1 d тета #
# = 1/2 (тета + 1/2 sin (2 тета)) + c # (і повторно відкрийте цю форму з формулою подвійного кута # sin #)
# = 1/2 тета + 1 / 2синтетакостета + с #
Тепер, # x-1 = u = загон тета #
#rArr theta = arctan (x-1) #
# 1 + (x-1) ^ 2 = сек ^ 2 тета #
#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #
#sin theta = tan theta * cos theta #
#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #
#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #
Нарешті, доводимо до справи:
#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
# = 1 / 2арктан (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #
