Як я можу вирішити це диференціальне рівняння?

Відповідь:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Пояснення:

Це розділене диференціальне рівняння, що просто означає, що можна групувати # x # умови & # y # терміни на протилежних сторонах рівняння. Отже, це ми зробимо спочатку:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Тепер ми хочемо отримати dy на стороні з y, а dx - на стороні x. Потрібно буде виконати певну реорганізацію:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Тепер ми інтегруємо обидві сторони:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Давайте зробимо кожен інтеграл по черзі:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

По-перше, розберемо це на 2 окремі інтеграли за допомогою правила складання / віднімання:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Вони виглядають начебто дратівливо. Однак ми можемо дати їм трохи перетворення, щоб вони виглядали краще (і набагато простіше їх вирішити):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Обидва вони зараз прості # u #-замінні інтеграли. Якщо ви встановили #u = -x # і # -3x # відповідно, ви отримаєте відповідь так:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# Якщо позитивним буде негативний показник, отримаємо:

#int (ye ^ y) dy #

Для цього нам доведеться використовувати інтеграцію по частинах. Формула:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Ми збираємося встановити #u = y #, і #dv = e ^ y dy #. Причина в тому, що ми хочемо легко # du # для цієї остаточної інтеграції, а також тому, що # e ^ y # дуже легко інтегрувати.

Тому:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Тепер ми просто підключаємо та відключаємо:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Повернути все назад:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Позбавлення від негативних показників:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

І це досить пристойний висновок. Якщо ви хочете вирішити для # y #Ви могли б, і ви закінчили б

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Зверніть увагу, що ми не маємо # + C # на LHS цього рівняння. Причина цього полягає в тому, що навіть якщо ми це зробимо, ми б зрештою відняли її від RHS, і довільна постійна мінус довільна константа все ще залишається (чекає) довільною постійною. Таким чином, для цих проблем, поки у вас є ваш # + C # на будь-якій стороні рівняння, ви будете добре.

Сподіваюся, що допомогла:)