Як вирішити сепарабельне диференціальне рівняння і знайти конкретне рішення, що задовольняє початковій умові y ( 4) = 3?

Відповідь:

Загальне рішення: #color (червоний) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Особливе рішення: #color (синій) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Пояснення:

З даного диференціального рівняння #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

Зверніть увагу, що #y '(x) = dy / dx # і #y (x) = y #отже

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

розділити обидві сторони на #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Помножте обидві сторони на # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

транспонувати # dx # ліворуч

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

інтегруючи з обох сторін, ми маємо наступні результати

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (червоний) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Загальне рішення

Але #y (-4) = 3 # означає коли # x = -4 #, # y = 3 #

Тепер ми можемо вирішити # C_1 # вирішити для конкретного рішення

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Тому наше конкретне рішення є

#color (синій) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Благослови Бог …. Сподіваюся, пояснення корисне.

Відповідь:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #, с #y> = - 13/4 #.

Пояснення:

#y> = - 13/4 #, робити #sqrt (4y + 13) # реальний..

Перестановка, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Тому, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Використання #y = 3, при x = -4, C = -`13 / 2 #

Тому. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Навпаки. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #