Вирішіть диференціальне рівняння: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Обговоріть, що таке диференціальне рівняння і коли це може виникнути?

Відповідь:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Пояснення:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

найкраще написано як

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad трикутник #

що показує, що це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку

вона має характеристичне рівняння

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

які можна вирішити наступним чином

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

це повторюваний корінь, тому загальне рішення має форму

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

це не-коливальний і моделює якусь експоненційну поведінку, яка дійсно залежить від значення A і B. Можна припустити, що це може бути спроба моделювати взаємодію населення або хижака / здобич, але я не можу сказати нічого дуже специфічного.

це показує нестабільність, і це все, що я дійсно можу сказати про це

Відповідь:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Пояснення:

Диференціальне рівняння

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

є лінійним однорідним постійним рівнянням коефіцієнта.

Для цих рівнянь загальне рішення має структуру

#y = e ^ {lambda x} #

Підставляючи ми маємо

# e ^ {lambda x} (лямбда ^ 2-8ламбда + 16) = 0 #

Тут # e ^ {lambda x} ne 0 # тому рішення повинні підкорятися

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (лямбда-4) ^ 2 = 0 #

Вирішення ми отримуємо

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Коли коріння повторюються, # d / (d лямбда) e ^ {lambda x} # також є рішенням. У випадку # n # корені повторюються, ми матимемо як рішення:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # для # i = 1,2, cdots, n #

Отже, для підтримки кількості початкових умов ми включаємо їх як незалежні рішення.

У цьому випадку ми маємо

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d лямбда) e ^ {lambda x} #

що призводить до

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Ці рівняння з'являються при моделюванні лінійних систем з параметрами, подібними до тих, які знайдені в теорії лінійних ланцюгів або лінійній механіці. Ці рівняння зазвичай обробляються з використанням операційних алгебраїчних методів, таких як методи Лапласа