Як інтегрувати int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Відповідь:

Використовуйте a # u #-замінити отримати # -3lnabs (cot (t)) + C #.

Пояснення:

По-перше, зверніть увагу, що тому #3# є константою, ми можемо витягнути її з інтегралу для спрощення:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Тепер - і це найважливіша частина - зверніть увагу, що похідна Росії #cot (t) # є # -csc ^ 2 (t) #. Оскільки ми маємо функцію і її похідну в одному інтегралі, то можна застосувати a # u # така заміна:

# u = cot (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Ми можемо перетворити позитив # csc ^ 2 (t) # до негативу:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

І застосуйте заміну:

# -3int (du) / u #

Ми знаємо це #int (du) / u = lnabs (u) + C #Таким чином, проводиться оцінка інтеграла. Нам просто потрібно повернути заміну (поставимо відповідь назад у термінах # t #) і додайте це #-3# до результату. З # u = cot (t) #, ми можемо сказати:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (cot (t)) + C #

І це все.

Відповідь:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const.

Пояснення:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Пам'ятайте, що

#sin 2t = 2sint * вартість #

Тому

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Як ми можемо знайти в таблиці інтегралів

(наприклад, таблиця інтегралів, що містять Csc (ax) у SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

ми отримуємо цей результат

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const.