Як знайти точні значення cos 2pi / 5?

Відповідь:

#cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

Пояснення:

Тут найбільш елегантне рішення, яке я знайшов у:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4pi / 5) = cos (2pi-4pi / 5) = cos (6pi / 5) #

Так якщо # x = 2pi / 5 #:

#cos (2x) = cos (3x) #

Заміна cos (2x) і cos (3x) на їх загальні формули:

#color (червоний) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 і cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, ми отримуємо:

# 2cos ^ 2x-1 = 4cos ^ 3x-3cosx #

Заміна # cosx # від # y #:

# 4y ^ 3-2y ^ 2-3y-1 = 0 #

# (y-1) (4y ^ 2 + 2y-1) = 0 #

Ми знаємо це #y! = 1 #, тому ми повинні вирішити квадратичну частину:

#y = (- 2 + -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) #

#y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

з #y> 0 #, # y = cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #