Який діапазон квадратичної функції f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4?

# (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 #

# 5 (x + 2) ^ 2 = 5x ^ 2 + 20x + 20 #

Тому

#f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4 #

# = 5x ^ 2 + 20x + 20-16 #

# = 5 (x + 2) ^ 2-16 #

Мінімальне значення #f (x) # відбудеться тоді, коли # x = -2 #

#f (-2) = 0-16 = -16 #

Звідси і діапазон #f (x) # є # - 16, oo) #

Більш чітко, нехай #y = f (x) #, потім:

#y = 5 (x + 2) ^ 2 - 16 #

Додати #16# до обох сторін отримати:

#y + 16 = 5 (x + 2) ^ 2 #

Розділіть обидві сторони на #5# отримати:

# (x + 2) ^ 2 = (y + 16) / 5 #

Потім

# x + 2 = + -sqrt ((y + 16) / 5) #

Відняти #2# з обох сторін отримати:

#x = -2 + -sqrt ((y + 16) / 5) #

Квадратний корінь буде визначено тільки тоді, коли #y> = -16 #, але для будь-якого значення #y у -16, oo #Ця формула дає нам одне або два значення # x # такий, що #f (x) = y #.