Відповідь:
Дивись нижче.
Пояснення:
Виклик # E-> f (x, y, z) = сокира ^ 2 + по ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #
Якщо #p_i = (x_i, y_i, z_i) у E # потім
# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # є дотичною до площини # E # тому що має спільну точку і #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # нормальний до # E #
Дозволяє # Pi-> альфа x + бета y + гама z = дельта # бути загальною площиною, дотичною до # E # потім
# {(x_i = alpha / (a delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #
але
# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # тому
# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + гама ^ 2 / c = delta ^ 2 # і загальне рівняння дотичної площини
#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (альфа ^ 2 / a + бета ^ 2 / b + гама ^ 2 / c) #
Тепер дані три ортогональні площини
# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #
і покликання #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # і створення
#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # ми можемо вибрати
#V cdot V ^ T = I_3 #
і як наслідок
# V ^ Tcdot V = I_3 #
тоді ми також маємо
# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #
Тепер додаємо #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # ми маємо
# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy сума (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + сума (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #
і, нарешті
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = сума_i delta_i ^ 2 #
але #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
тому
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
яка являє собою шлях, простежений точкою перетину трьох взаємних перпендикулярних дотичних площин до еліпсоїда.
Прикріплений графік для еліпсоїда
# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #
