Як ви знайдете межу (ln x) ^ (1 / x), коли x наближається до нескінченності?

Відповідь:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Пояснення:

Почнемо з досить поширеного трюку при роботі зі змінними експонентами. Ми можемо взяти природний журнал чогось, а потім підняти його як показник експоненціальної функції, не змінюючи її значення, оскільки це зворотні операції - але це дозволяє використовувати правила журналів корисним чином.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Використовуючи правило експонування журналів:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Зверніть увагу, що це показник, який змінюється # xrarroo # щоб ми могли зосередитися на ньому і перемістити експоненційну функцію зовні:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Якщо ви подивитеся на поведінку природної функції журналу, ви помітите, що коли x прагне до нескінченності, значення функції також має тенденцію до нескінченності, хоча й дуже повільно. Коли ми беремо #ln (ln (x)) # ми маємо змінну всередині функції журналу, яка дуже повільно прагне до нескінченності, а це означає, що ми маємо загальну функцію, яка прагне до нескінченності. Графік нижче відображається лише до # x = 1000 # але це демонструє надзвичайно повільне зростання Росії #ln (ln (x)) # навіть у порівнянні з повільним зростанням #ln (x) #.

З цієї поведінки ми можемо зробити висновок про це # x # буде демонструвати набагато швидше асимптотичний ріст і що межа експонента буде, таким чином, дорівнює нулю. #color (синій) ("Це означає, що загальна межа = 1.") #

Ми також можемо вирішити цю проблему правилом L'hopital. Потрібно, щоб межа була в невизначеній формі, тобто # 0/0 або oo / oo # тому ми перевіряємо, що це так:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (оо)) = ln (оо) = оо #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Це дійсно так, що ліміт стає:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Для диференціації #y = ln (ln (x)) # визнати ми #y (u (x)) # і використовувати правило ланцюга

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) означає (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) має на увазі (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

похідна # x # є #1#. Ліміт стає:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Ми звернулися до того, що обидві функції на знаменнику мають тенденцію до нескінченності, тому ми маємо

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #