Що ж (3 + i) ^ (1/3) дорівнює у + bi формі?

Відповідь:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + корінь (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Пояснення:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (alpha)) # де #alpha = arctan (1/3) #

Тому

#root (3) (3 + i) = root (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + корінь (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

З # 3 + i # є у Q1, цей головний кубічний корінь # 3 + i # також у першому кварталі.

Два інших коріння куба # 3 + i # виражаються за допомогою примітивного Complex cube root з єдності #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (корінь (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + корінь (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + корінь (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (корінь (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + корінь (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + корінь (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #