Що таке int (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx?

Відповідь:

#int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -арктан (cos (x)) + C #

Пояснення:

Ми введемо u-заміна з # u = cos (x) #. Похідна Росії # u # тоді буде # -sin (x) #, тому ми ділимося на те, щоб інтегруватися по відношенню до # u #:

#int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int скасувати (sin (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 / (- скасувати (sin (x) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) t

Це знайомий інтеграл arctan, що означає:

# -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -арктан (u) + C #

Ми можемо повторно замінити # u = cos (x) # отримати відповідь в термінах # x #:

# -арктан (cos (x)) + C #

Що таке інтеграл int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Ми можемо використовувати заміну для видалення cos (x). Отже, давайте використаємо sin (x) як наше джерело. u = sin (x) Котрий тоді означає, що ми отримаємо, (du) / (dx) = cos (x) Знаходження dx дасть, dx = 1 / cos (x) * du Тепер замінюючи вихідний інтеграл із заміною, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du Ми можемо скасувати тут cos (x), int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Тепер встановлюючи для u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C

Що таке інтеграл int sin ^ 3 (x) cos ^ 3 (x) dx?

Int sin ^ 3 x cos ^ 3 x d x = 1 / 4sin ^ 4 x-1 / 5sin ^ 5 x + C int sin ^ 3 x cos ^ 3 x d x =? "" sin x = u "" cos xdx = du int sin ^ 3 x * cos ^ 2 x * cos x * dx "" cos ^ 2 x = 1-sin ^ 2 x int u ^ 3 (1-sin ^ 2 ) du "" int u ^ 3 (1-u ^ 2) du "" int (u ^ 3-u ^ 5) du int sin ^ 3 x cos ^ 3 xdx = 1 / 4u ^ 4-1 / 5u ^ 5 + C інс ^ 3 x cos ^ 3 xdx = 1 / 4sin ^ 4 x-1 / 5sin ^ 5 x + C

Що таке int cos (7x + pi) -sin (5x-pi)?

- (sin7x) / 7- (cos5x) / 5 + C Перед обчисленням інтеграла спростимо тригонометричне вираз з використанням деяких тригонометричних властивостей: Застосовуємо властивість cos, яке говорить: cos (pi + alpha) = - cosalpha cos ( 7x + pi) = cos (pi + 7x) Отже, колір (синій) (cos (7x + pi) = - cos7x) Застосування двох властивостей гріха: sin (-альфа) = - синальний і гріх (pi-alpha) = sinalpha Ми маємо: sin (5x-pi) = sin (- (pi-5x)) = - sin (pi-5x), оскільки sin (-альфа) = - sinalpha -sin (pi-5x) = - sin5x Sincesin ( pi-alpha) = sinalpha Отже, колір (синій) (sin (5x-pi) = - sin5x) Перший Замініть спрощені відповіді, а потім обчис