Які є тести ділення різних чисел?

Існує багато тестів на подільність. Ось декілька, разом з тим, як вони можуть бути отримані.

• Ціле число ділиться на #2# якщо остання цифра рівна.

• Ціле число ділиться на #3# якщо сума його цифр ділиться на 3.

• Ціле число ділиться на #4# якщо ціле число, утворене двома останніми цифрами, ділиться на 4.

• Ціле число ділиться на #5# якщо кінцева цифра дорівнює 5 або 0.

• Ціле число ділиться на #6# якщо вона ділиться на 2 і на 3.

• Ціле число ділиться на #7# якщо вирахування двічі останньої цифри з цілого числа, утвореного шляхом видалення останньої цифри, кратно 7.

• Ціле число ділиться на #8# якщо ціле число, утворене останніми трьома цифрами, ділиться на 8 (це може бути полегшено, зауваживши, що правило є таким же, як і для 4s, якщо цифра сотень рівна, і навпаки)

• Ціле число ділиться на #9# якщо сума цифр ділиться на 9.

• Ціле число ділиться на #10# якщо остання цифра #0#

Для цих та інших питань зверніться до вікіпедійської сторінки щодо правил розділення.

Тепер можна задатися питанням, як винайти ці правила, або принаймні показати, що вони дійсно працюватимуть. Одним із способів цього є тип математики, званий модульною арифметикою.

У модульній арифметиці ми вибираємо ціле число # n # як модуль а потім розглядати кожне інше ціле число як буття конгруентний по модулю # n # до її залишку, коли розділений на # n #. Найпростіший спосіб подумати над цим є те, що ви можете додавати або віднімати # n # без зміни значення цілого числа по модулю n. Це аналогічно тому, як на аналогових годинниках, додаючи дванадцять годинних результатів в той же час. Додавання годин на годиннику - додавання по модулю #12#.

Те, що робить модульну арифметику дуже корисною при визначенні правил ділення, це те, що для будь-який ціле число # a # і позитивне ціле число # b #Це можна сказати # a # ділиться на # b # якщо і тільки якщо

# a- = 0 "(mod b)" # (# a # є конгруентним #0# по модулю # b #).

Давайте скористаємося цим, щоб зрозуміти, чому правило розділення для #3# працює. Ми зробимо це за допомогою прикладу, який повинен показати загальну концепцію. У цьому прикладі ми побачимо, чому #53412# ділиться на #3#. Пам'ятайте, що додавання або віднімання #3# не змінить значення цілого числа по модулю #3#.

#53412# ділиться на #3# якщо і тільки якщо # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Але також, тому що #10 -3 -3 -3 = 1#, ми маємо # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Таким чином:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (червоний) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

Таким чином #53412# ділиться на #3#. Крок у червоному демонструє, чому ми можемо просто підсумувати цифри і перевірити, що замість того, щоб намагатися розділити початковий номер #3#.