Що таке асимптота (и) і отвір (и), якщо такі є, f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Відповідь:

# x = 0 # є асимптотою.

# x = 1 # є асимптотою.

#(3, 5/18)# є отвором.

Пояснення:

По-перше, давайте спростимо нашу фракцію, не скасовуючи нічого (оскільки ми будемо приймати обмеження і скасовувати речі, можливо, зіштовхнутися з цим).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Тепер: отвори і асимптоти - це значення, які роблять функцію невизначеною. Оскільки ми маємо раціональну функцію, вона буде невизначеною тоді і тільки тоді, коли знаменник дорівнює 0. Тому нам потрібно лише перевірити значення # x # які становлять знаменник #0#, які є:

# x = 0 #

# x = 1 #

# x = 3 #

Щоб з'ясувати, чи є ці асимптоти або отвори, візьмемо межу #f (x) # як # x # підходить до кожного з цих номерів.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3)) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -оо #

Тому # x = 0 # є асимптотою.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -оо #

Тому # x = 1 # є асимптотою.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2))) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Тому #(3, 5/18)# є отвором #f (x) #.

Остаточний відповідь