Q.1 Якщо альфа, бета - коріння рівняння x ^ 2-2x + 3 = 0, отримаємо рівняння, корені якого мають альфа ^ 3-3 альфа ^ 2 + 5 альфа -2 і бета ^ 3-бета ^ 2 + beta + 5?

# Q.1 # Якщо # alpha, beta # є коренями рівняння # x ^ 2-2x + 3 = 0 # отримаємо рівняння, корені якого є # alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 # і # beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #?

Відповідь

Дане рівняння # x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

Дозволяє # alpha = 1 + sqrt2i та beta = 1-sqrt2i #

Тепер нехай

# gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 #

# => гама = альфа ^ 3-3 альфа ^ 2 + 3 альфа -1 + 2альфа-1 #

# => гама = (альфа-1) ^ 3 + альфа-1 + альфа-номер #

# => gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #

І нехай

# delta = бета ^ 3-бета ^ 2 + бета + 5 #

# => delta = beta ^ 2 (бета-1) + бета + 5 #

# => delta = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Отже, квадратичне рівняння має коріння #gamma та delta # є

# x ^ 2- (гама + дельта) x + gammadelta = 0 #

# => x ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #

# => x ^ 2-3x + 2 = 0 #

# Q.2 # Якщо один корінь рівняння # ax ^ 2 + bx + c = 0 # бути площею іншого, Доведіть це # b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

Нехай один корінь буде # alpha # тоді інший корінь буде # alpha ^ 2 #

Тому # alpha ^ 2 + alpha = -b / a #

# alpha ^ 3 = c / a #

# => alpha ^ 3-1 = c / a-1 #

# => (альфа-1) (альфа ^ 2 + альфа + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #

# => (альфа-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #

# => (альфа-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #

# => (альфа-1) = (c-a) / (a-b) #

# => alpha = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #

Тепер #alpha # будучи одним з коренів квадратичного рівняння # ax ^ 2 + bx + c = 0 # ми можемо написати

# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => a ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #

# => a (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #

# => ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #

# => b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

доведено

Альтернатива

# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => aalpha + b + c / alpha = 0 #

# => a (c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

# => c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #

# => (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

# => (c ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3+ (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) a ^ (2/3) xxc ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #

# => ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-b) = (- b) ^ 3 #

# => b ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #