Ми маємо x @ y = ax + ay-xy, x, y в RR і a є реальним параметром. Значення a, для яких [0,1] є стабільною частиною (RR, @)?

Відповідь:

#a у 1/2, 1 # або #a = 1 # якщо хочемо #@# на карті # 0, 1 xx 0, 1 # на #0, 1#.

Пояснення:

Дано:

#x @ y = ax + ay-xy #

Якщо я правильно розумію питання, ми хочемо визначити значення # a # для котрого:

#x, y в 0, 1 rarr x @ y в 0, 1 #

Ми знайшли:

# 1 @ 1 = 2a-1 у 0, 1 #

Звідси #a у 1/2, 1 #

Зауважте, що:

# del / (del x) x @ y = a-y "" # і # "" del / (del y) x @ y = a-x #

Звідси максимальні та / або мінімальні значення #x @ y # коли #x, y у 0, 1 # відбудеться тоді, коли #x, y у {0, a, 1} #

Припустимо #a у 1/2, 1 #

Ми знайшли:

# 0 @ 0 = 0 в 0, 1 #

# 0 @ a = a @ 0 = a ^ 2 у 0, 1 #

# 0 @ 1 = 1 @ 0 = a в 0, 1 #

#a @ a = a ^ 2 у 0, 1 #

#a @ 1 = 1 @ a = a ^ 2 у 0, 1 #

# 1 @ 1 = 2a-1 у 0, 1 #

Отже, дана умова є необхідною і достатньою.

Крім того, якщо ми хочемо #x @ y # бути на #0, 1# тоді ми вимагаємо # a = 1 #.