Довести, що функція не має lim у x_0 = 0? + Приклад

Відповідь:

Див. Пояснення.

Пояснення:

Згідно з визначенням Гейне обмеження функції ми маємо:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Таким чином, щоб показати, що функція має НІ обмеження на # x_0 # ми повинні знайти дві послідовності # {x_n} # і # {bar (x) _n} # такий, що

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} бар (x) _n = x_0 #

і

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (бар (x) _n) #

У наведеному прикладі такі послідовності можуть бути: t

# x_n = 1 / (2 ^ n) # і #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Обидві послідовності збігаються до # x_0 = 0 #, але за формулою функції ми маємо:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

тому що всі елементи в Росії # x_n # знаходяться в #1,1/2,1/4,…#

і для #bar (x) _n # ми маємо:

#f (бар (x) _1) = f (1) = 2 #

але для всіх #n> = 2 # ми маємо: #f (бар (x) _n) = 1 #

Так для #n -> + oo # ми маємо:

#lim_ {n -> + oo} f (бар (x) _n) = 1 # (**)

Обидві послідовності охоплюють # x_0 = 0 #, але межі (*) і (**) є НЕ рівний, тому межа #lim_ {x-> 0} f (x) # не існує.

QED

Визначення ліміту можна знайти у Вікіпедії за адресою:

Відповідь:

Наведемо доказ, використовуючи заперечення визначення існування межі.

Пояснення:

Коротка версія

#f (x) # не може наблизитися до одного номера # L # тому що в будь-якому районі Росії #0#, функція # f # приймає значення, які відрізняються один від одного #1#.

Так що незалежно від того, що хтось пропонує # L #, Є точки # x # близько #0#, де #f (x) # принаймні #1/2# від віддаленого пристрою # L #

Довга версія

#lim_ (xrarr0) f (x) # існує тоді і тільки тоді, коли

є номер, # L # такий для всіх #epsilon> 0 #, є a #delta> 0 # таке, що для всіх # x #, # 0 <abs (x) <delta # означає #abs (f (x) -L) <epsilon #

Запереченням цього є:

#lim_ (xrarr0) f (x) # не існує, якщо і тільки якщо

для кожного номера, # L # є #epsilon> 0 #, таке, що для всіх #delta> 0 # є # x #, такий, що # 0 <abs (x) <delta # і #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Дано число # L #, Дозволю #epsilon = 1/2 # (менше # epsilon # буде працювати також)

Тепер дано позитивне # delta #, Я повинен показати, що є # x # с # 0 <absx <delta # і #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (Нагадаємо, що #epsilon = 1/2 #)

Дано позитивне # delta #, врешті-решт # 1/2 ^ n <delta # так що є # x_1 # с #f (x_1) = 2 #.

Є також елемент # x_2 в RR- {1, 1/2, 1/4,… } # с # 0 <x_2 <delta # і #f (x_2) = 1 #

Якщо #L <= (1/2) #, потім #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Якщо #L> = (1/2) #, потім #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #