Нехай P (x_1, y_1) - точка, а l - лінія з рівнянням ax + by + c = 0.Показувати відстань d від P-> l задається як: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Знайти відстань d точки P (6,7) від лінії l з рівнянням 3x + 4y = 11?

Відповідь:

#d = 7 #

Дозволяє # l-> a x + b y + c = 0 # і # p_1 = (x_1, y_1) # точка не на # l #.

Припустимо, що #b ne 0 # і покликання # d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # після заміни #y = - (a x + c) / b # в # d ^ 2 # ми маємо

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. Наступним кроком є пошук # d ^ 2 # мінімальний # x # так ми знайдемо # x # такий, що

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Це і відбувається для

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Тепер, підставляючи це значення в # d ^ 2 # ми отримуємо

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # тому

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Тепер дано

# l-> 3x + 4y-11 = 0 # і # p_1 = (6,7) # потім

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #