Як перетворити r = 1 / (4 - costheta) у декартову форму?

Відповідь:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Пояснення:

Гей, Сократик: Чи дійсно треба сказати нам, що це було зроблено 9 хвилин тому? Мені не подобається, що мене брешуть. Розкажіть нам, що це було запропоновано два роки тому, і ніхто ще не зміг це зробити. Також що з підозріло ідентично сформульовані питання, задані з різних місць? Не кажучи вже про Санта Круз, США? Там майже напевно більше, ніж один, хоча я чую, що в Каліфорнії в хорошому. Довіра і репутація важливі, особливо на сайті домашньої роботи. Не вводьте в оману людей. Кінець гул.

При перетворенні рівнянь від полярних до прямокутних координує грубу силу прямокутної до полярної заміни

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (y "/," x) quad #

це рідко найкращий підхід. (Я навмисно вказую на чотири квадранта, зворотний дотичний, але не давайте відволікатися.)

В ідеалі ми хочемо використовувати полярні прямокутні заміни, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

ОК давайте подивимося на це питання.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Ці полярні рівняння зазвичай дозволяють негативні # r #, але тут ми впевнені # r # завжди позитивний.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Я думаю, що це еліпси, що не має значення, але дає нам певну ідею, як ми сподіваємося, що прямокутна форма буде виглядати. Ми хочемо прагнути до чогось без квадратних коренів або арктангентів # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # має квадратні корені, але #rcos theta = x # ні, тому ми розширюємося.

# 4r - rcos theta = 1 #

Тепер ми просто замінюємо; ми зробимо це кроками.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Давайте прямо зараз. Ми знаємо #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Це досить круговий еліпс. (Менша константа, ніж #4# у оригіналі було б більш ексцентричний еліпс.) Ми могли б завершити квадрат, щоб поставити його в стандартній формі, але давайте залишимо його тут.